Geometría no euclídea, rama de la geometría basada en axiomas diferentes de los utilizados por Euclides en sus Elementos de geometría.
Uno de los postulados de la geometría plana de Euclides nos dice que sólo se puede dibujar una línea recta paralela a otra recta que pase por un punto exterior a ésta; estas dos rectas nunca se encuentran por mucho que las extendamos en ambos sentidos.
Durante muchos siglos los matemáticos creyeron que este postulado se podía demostrar utilizando el resto de los postulados, pero los esfuerzos para probarlo fueron inútiles.
A principios del siglo XIX, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss, el matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski y el húngaro János Bolyai demostraron por separado la posibilidad de construir un sistema geométrico coherente, en el que el postulado de la paralela única de Euclides se reemplaza por otro que nos dice que se puede dibujar un número infinito de paralelas a una recta que pasan por un punto exterior a ésta.
Más tarde, alrededor de 1860, el matemático alemán Bernhard Riemann mostró que una geometría en la que no existen líneas paralelas también es posible.
Los detalles de estos dos tipos de geometría no euclídea son complejos, pero ambos se pueden demostrar utilizando modelos sencillos.
La geometría Bolyai-Lobachevski, llamada normalmente geometría no euclídea hiperbólica, describe la geometría de un plano que está formado sólo por los puntos interiores de un círculo en el que todas las posibles líneas rectas son cuerdas del círculo.
Como se ve en la figura 1, se puede dibujar un número infinito de líneas paralelas a la línea L que pasen por el punto P sin que se corten.
De la misma manera, la geometría riemanniana o no euclídea elíptica, es la geometría de la superficie de una esfera en la que todas las líneas rectas son círculos máximos.
La figura 2 muestra la imposibilidad de dibujar un par de líneas paralelas en esta superficie.
Para distancias relativamente pequeñas, la geometría euclídea y las no euclídeas son esencialmente equivalentes.
Sin embargo, al trabajar con el espacio astronómico o con problemas de la física moderna como la relatividad o la teoría de propagación de ondas, las geometrías no euclídeas dan una descripción más precisa que la euclídea de los fenómenos observados.
Por ejemplo, la teoría de la relatividad desarrollada principalmente por Albert Einstein está basada en una geometría riemanniana de espacio curvo.