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Qué es, Significado y Concepto

Ecuación diferencial

Ecuación diferencial, ecuación en la que figura una función y = f(x), y al menos una de sus derivadas. La primera derivada de una función y = f(x), o derivada de primer orden, f’(x), es la velocidad a la que cambia y con respecto a x.

Si la función se representa gráficamente, la primera derivada en cualquier punto es la pendiente de la curva en ese punto. La segunda derivada, o derivada de segundo orden, f’’(x), es sencillamente la derivada de la derivada, y así sucesivamente. Véase Cálculo.

A menudo, las ecuaciones diferenciales representan leyes naturales relativas a la velocidad de un determinado cambio. Una solución de una ecuación diferencial es una función y = f(x) que satisface la ecuación; la solución general es una fórmula que representa todas las soluciones posibles.

Una ecuación diferencial de orden n es una ecuación en la que figura la derivada enésima, denotada por dny/dxn = f(n)(x), y ninguna derivada de orden superior. Para ver un ejemplo de ecuación diferencial de primer grado que corresponde a una ley natural, hagamos que x represente el tiempo e y la masa de una muestra radiactiva en el momento x.

Se ha demostrado que y disminuye a una velocidad dy/dx proporcional a la masa de material radiactivo que queda; por tanto, donde a es negativo puesto que y disminuye. La solución general de esta ecuación diferencial viene dada por y = ceax, donde c es una constante igual a la masa de material en el momento x = 0.

Las ecuaciones diferenciales de segundo orden surgen a menudo en problemas relativos al movimiento bajo la influencia de fuerzas.

Si un objeto recorre la distancia y en el tiempo x, entonces dy/dx es su velocidad y d2y/dx2 es su aceleración. Si el objeto tiene una masa constante m y está sometido a una fuerza F, la segunda ley de Newton (véase Mecánica) afirma que si F es la fuerza gravitatoria mg, e y representa la distancia caída, entonces m·d2y/dx2 = F = mg, por lo que como se demuestra en cálculo, la solución general de (2) es donde a y b son constantes, iguales respectivamente a la velocidad y la distancia en el momento x = 0.

Como ilustran estos ejemplos, la solución general de una ecuación diferencial de orden n implica n constantes arbitrarias, como son c en (1), o a y b en (2).

Se dispone de muchos métodos potentes para resolver distintos tipos de ecuaciones diferenciales, pero no hay un método único que resuelva todas, y en algunos casos sólo pueden hallarse soluciones aproximadas mediante técnicas numéricas. Las ecuaciones diferenciales parciales implican derivadas parciales de una función de dos o más variables.

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