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Qué es, Significado y Concepto

Divisor

Divisor, de un número entero a, es cualquier otro entero b tal que la división a : b es exacta. Por ejemplo, 15 es divisor de 45 porque la división 45 : 15 = 3 es exacta.

La relación “b es divisor de a” se puede expresar así: b | a, que se lee “b divide a a”. Esta relación es equivalente a “a es múltiplo de b”:

Todo número natural, a, tiene, al menos, dos divisores: el propio a y el 1.

Si los únicos divisores de a son a y 1 se dice que es primo. Si a tiene más divisores se dice que es compuesto. Por ejemplo, 23 es primo porque sólo es divisible por 1 y por 23. Sin embargo, 24 es compuesto, pues 2, 3, 4, 6 y 12 son divisores de 24.

Para obtener todos los divisores de un número grande, conviene descomponerlo en factores primos y proceder como en el ejemplo siguiente.

Para el número 720, a partir de su descomposición factorial, 720 = 24 · 32 · 5, se elabora la siguiente tabla, que proporciona sus divisores:

Es decir, los divisores de 720 son:

Si la descomposición factorial de un número es

N = aa · bβ · cg ·…· lλ

el número de divisores de N es (a + 1)(β + 1)(g + 1)…(λ + 1).

Así, puesto que 720 = 24 · 32 · 5, el número de sus divisores es:

(4 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 5 · 3 · 2 = 30

Es decir, 720 tiene 30 divisores.

En problemas de divisibilidad es frecuente que se necesite conocer un número natural que sea divisor común de otros. Y, en concreto, el mayor de esos divisores comunes, el que se denomina máximo común divisor y se designa abreviadamente como M.C.D.

Criterios de divisibilidad

Para saber si un número, b, es divisor de otro, a, se efectúa la división y se comprueba si es o no exacta. Sin embargo, existen ciertas propiedades que permiten saber de forma cómoda y rápida si a es divisible por b para ciertos valores de b.

Se llaman criterios de divisibilidad y los más utilizados son los que permiten saber si un número escrito en el sistema de numeración habitual es divisible por 2, 3, 5 u 11.

Criterio de divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2 si lo es su cifra de las unidades, es decir, si ésta es 0, 2, 4, 6 u 8. Por ejemplo, 3.524 es divisible por 2 porque acaba en 4, mientras que 5.427 no lo es porque termina en 7.

Criterio de divisibilidad por 3

Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras lo es. Por ejemplo, 5.472 es divisible por 3 porque 5 + 4 + 7 + 2 = 18 es divisible por 3, mientras que 2.540 no lo es porque 2 + 5 + 4 + 0 = 11 no es divisible por 3.

Criterio de divisibilidad por 5

Un número es divisible por 5 si lo es su cifra de las unidades, es decir, si ésta es 0 o 5. Por ejemplo, 740 es divisible por 5 porque acaba en 0 mientras que 3.551 no lo es porque termina en 1.

Criterio de divisibilidad por 11

Para averiguar si un número es divisible por 11 se procede del siguiente modo: se suman las cifras de lugar impar, se suman las cifras de lugar par y se restan los resultados. Si la diferencia es 0 o múltiplo de 11 entonces, y sólo entonces, el número lo es. Por ejemplo, para probar si 52.833 es múltiplo de 11, se procede así:

(5 + 8 + 3) – (2 + 3) = 16 – 5 = 11

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