Diferencias finitas, rama de las matemáticas en la que se desarrolla la teoría de las diferencias entre parejas de términos sucesivos en una sucesión. Los resultados tienen muchas aplicaciones. La fórmula yn = 3n – 1 genera, para n = 1, 2, 3…, la progresión aritmética 2, 5, 8, 11, 14…; la diferencia entre parejas sucesivas en esta progresión es 5 – 2 = 8 – 5 = … = 3. Una sucesión numérica y su correspondiente sucesión de diferencias se escriben normalmente de la siguiente forma
2 5 8 11 14 …
3 3 3 3 …
La fórmula yn = n2 – 3n – 2 genera, para n = 1, 2, 3…, la sucesión que aparece en la primera línea de la siguiente tabla:
-4 -4 -2 2 8 16 …
0 2 4 6 8 …
2 2 2 2 …
Los números de la segunda línea son las diferencias de los números de la primera, y los números de la tercera son las diferencias de los de la segunda. La secuencia de la segunda línea se denomina primeras diferencias de la secuencia original; la de la tercera línea son las segundas diferencias.
En general, si y1, y2, y3, … yn… es una sucesión numérica, sus primeras diferencias se definen como Δyn = yn + 1 – yn; las segundas diferencias como Δ2yn = Δyn + 1 – Δyn; las terceras diferencias como Δ3yn = Δ2yn + 1 – Δ2yn; y así sucesivamente. La tabla de diferencias se escribe de la siguiente manera:
En algunas aplicaciones, especialmente si la y es la ordenada para un conjunto de puntos (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)…, es más conveniente representar la tabla de diferencias en forma vertical, incluyendo también la correspondiente x como se puede ver a continuación
Se puede demostrar fácilmente que si la y se obtiene utilizando un polinomio de grado n, sus diferencias n-ésimas son constantes; recíprocamente, si las diferencias n-ésimas de una sucesión en y son constantes, la sucesión se puede generar con un polinomio cuyo grado no sea mayor que n.
A veces, sólo se conoce un conjunto de puntos (x1, y1), (x2, y2)… de una función, pero no se conoce una regla o expresión para calcular la y en función de la x. En estos casos, la tabla de diferencias finitas se puede utilizar para encontrar otros puntos de la función (mediante interpolación y extrapolación), así como los valores de la derivada de la función en varios puntos y las integrales definidas de la función entre ciertos límites; además, la tabla de diferencias da una estimación del error en estos cálculos.
Una sucesión en y se puede definir con una regla que exprese la yn de forma implícita, es decir, en función de uno o más de los términos que la preceden. Por ejemplo, si yn es el número de distintas formas en que una o más personas se pueden sentar en un fila de n asientos sin que haya dos personas sentadas en asientos contiguos, se puede probar que yn = yn – 1 + yn – 2 + 1, siendo y1 = 1 e y2 = 2. Las diferencias finitas se pueden utilizar para “resolver” este tipo de ecuaciones, es decir, encontrar una función que dé la yn en función sólo de la n. Para el ejemplo anterior
en donde (¥) son los coeficientes del binomio de Newton, también llamados números combinatorios y que están dados por: