Categorías
Qué es, Significado y Concepto

Cuerpo (matemáticas)

Cuerpo (matemáticas), conjunto de elementos con los que se pueden realizar operaciones que satisfacen ciertas propiedades.

El conjunto de las fracciones formadas con números enteros, junto con las operaciones de la adición y la multiplicación, forman un cuerpo llamado cuerpo de los números racionales.

Muchas de las propiedades características de los números racionales se cumplen también para otros cuerpos, incluso si los elementos y las operaciones para estos otros cuerpos son completamente distintos.

Los principios fundamentales de los cuerpos tienen muchas aplicaciones. La ingeniería electrónica y la física teórica utilizan el campo de los números complejos para estudiar la electricidad, el magnetismo y la teoría cuántica.

En codificación de señales, los cuerpos se utilizan para reducir posibles errores en transmisiones por canales como las líneas telefónicas (véase Teoría de la información). La teoría matemática de los cuerpos es una de las principales herramientas para estudiar las propiedades fundamentales de los números.

Historia

A principios del siglo XIX, el matemático francés Évariste Galois y el noruego Niels Henrik Abel introdujeron por primera vez el concepto de cuerpo en matemáticas, durante sus estudios de las raíces de las ecuaciones polinómicas (véase Teoría de ecuaciones).

Los cuerpos se usaron para probar que, aunque existe la fórmula cuadrática para resolver las ecuaciones de segundo grado, no hay una fórmula general semejante para polinomios de quinto grado o superior.

La palabra cuerpo fue usada por primera vez a finales del siglo XIX por el matemático alemán Julius Dedekind quien, junto con su colega Leopold Kronecker, desarrollaron la teoría abstracta de los cuerpos y su aplicación a la teoría de números.

Definición

Formalmente, un cuerpo es un conjunto F junto con dos operaciones, Å y Ä, que satisfacen ciertas propiedades. Los símbolos Å y Ä pueden indicar la adición y la multiplicación corrientes u otra pareja cualquiera de operaciones semejantes. Las propiedades que el conjunto F ha de cumplir para ser un cuerpo son las siguientes:

(1) La adición y la multiplicación deben ser uniformes y estar bien definidas:

a Å b y a Ä b son elementos únicos de F para cualquier a y b de F

(2) Para cualquier par de elementos de F, se cumple la propiedad conmutativa de la adición:

a Å b = b Å a

(3) Para cualquier terna de elementos de F, se cumplen las propiedades asociativas de la adición y la multiplicación:

(a Å b) Å c = a Å (b Å c) y (a Ä b) Ä c = a Ä (b Ä c)

(4) Existen los elementos neutros de la adición y la multiplicación, que se denotan como 0 y 1, siendo 0 ≠ 1, que cumplen:

a Å 0 = a = 0 Å a y a Ä 1 = a = 1 Ä a para cualquier a de F

(5) Todo elemento a de F tiene un elemento simétrico, -a, tal que:

a Å (-a) = 0 = (-a) Å a

(6) Todo elemento a de F distinto de cero tiene un elemento inverso, a-1, tal que:

a Ä a-1 = 1 = a-1 Ä a

(7) La propiedad distributiva se cumple para todos los elementos de F:

a Ä (b Å c) = a Ä b Å a Ä c

La sustracción se define utilizando la quinta propiedad, es decir, a – b = a Å (-b).

La división se define utilizando la sexta propiedad, es decir, a / b = a Ä b-1, para todo b distinto de cero.

Puesto que todo número racional se puede escribir como un decimal, el cuerpo de los números racionales está incluido en el cuerpo de los números reales.

Si un cuerpo está incluido en otro y utiliza las mismas operaciones, se dice que es un subcuerpo del cuerpo mayor. Por ejemplo, los números racionales son un subcuerpo de los números reales, y los números reales un subcuerpo de los complejos.

Si el número de elementos del conjunto es finito, se dice que el cuerpo es finito; si no, se dice que es infinito. Los números racionales, los reales y los complejos son ejemplos de cuerpos infinitos.

Ejemplos de cuerpos

El conjunto de los enteros de complemento a 3, o de módulo 3, es un cuerpo finito con sólo tres elementos: 0, 1 y 2. Estos elementos son todos los posibles restos de dividir cualquier entero por 3, y de ahí su nombre. Por ejemplo, al dividir 9 por 3, el resto es 0; al dividir 20 por 3, el resto es 2.

La adición (Å) y la multiplicación (Ä) entre los elementos del conjunto {0,1,2} se calcula realizando primero la adición o multiplicación como si de enteros se tratara y tomando el resto de dividir este resultado por 3.

Por ejemplo, para hallar 1 Å 2, primero se suman 1 y 2, obteniéndose 3, que dividido por 3 da un resto 0, que es el resultado buscado. Por tanto, en el cuerpo de los enteros de complemento a 3, 1 Å 2 = 0, y por tanto 2 es el elemento simétrico de 1. De la misma manera, 2 Ä 2 se halla multiplicando 2 por 2 como siempre, y dividiendo 4 por 3, que da un resto 1. Por tanto, como 2 Ä 2 = 1, 2 es el elemento inverso de 2.

En general, el cuerpo de los enteros de complemento a p, en donde p es un número primo, se define como todos los posibles restos de dividir cualquier entero por p.

Si p es un número primo y n es un entero positivo, esencialmente sólo hay un cuerpo con pn elementos. Estos cuerpos se denominan cuerpos de Galois y son los únicos cuerpos finitos. Por ejemplo, no puede haber un cuerpo de Galois con sólo seis elementos pues seis no se puede expresar como la potencia de un número primo.

Escrito por :